数形结合思想在解题中的几点应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

广东省普宁市城东中学（515300）   杜金河　　

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.　　

所谓数形结合，就是根据数与形 之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。　　

数与形是一对矛盾，它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，数形结合思想的应用形式大体可分为代数问题的几何解法与几何问题的代数解法两个方面。本文试从函数图像和几何图形两个方面，举例说明“以形助数”在解决问题中的一些妙用.　　

一、利用数形结合思想解决集合的问题．　　

1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．　　

一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题．例如：　　

    例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化 小组的人数分别为28，25，15，同时参加数、理 小组的8人，同时参加数、化 小组的6人，同时参加理、化 小组的7人，问：同时参加数、理、化 小组的有多少人？　　

分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆　　

的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：　　

即：　 　　　　　

∴　 　　　，即同时参加数理化小组的有1人．　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

C（化）

　　　　

A（数）

　　　　

B（理）

　　　　 　

                                图1　　

2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．如：　　

当几个集合的解集是不等式形式，要求它们的交集或并集时，经常借助于数轴，把不等式的解集在数轴表示出来，通过数轴观察它们的交集或并集，这样比较直观。例如：　　

    例2、已知集合　 　　　　　

          ⑴若　 　　　，求　 　　　的范围.⑵若　 　　　，求　 　　　的范围．　　

分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使　 　　　，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有:　 　　　,这时　 　　　的值不可能存在（图2①）　　

要使　 　　　，当a >0时集合A应该覆盖集合B,应有成立　 　　　 ，　 　　　。　　

当　 　　　时,　 　　　,显然　 　　　成立.故　 　　　时的取值范围为：　 　　　（图2 ②）　　

　　　

。

　　　　　　　　 　　　　 　　　　

。

　　　　

－１

　　　　

3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

①

　　　　　　

。

　　　　

。

　　　　　　　　

－１

　　　　

３

　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

②

　　　　 　

                            图2　　

二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题．　　

1、利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题．　　

利用二次函数　 　　　的图像与x轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根，根据二次函数　 　　　与x轴的交点情况就可以确定方程f(x)=0的实根的情况，即通过　 　　　的相互转化，利用函数y=f(x)的图像可以直观解决问题。例如：　　

例3、　 　　　为何值时，方程　 　　　的两根在　 　　　之内？　　

    分析：显然　 　　　,我们可从已知方程联想到相应的二次函数　 　　　　　　　的草图（图3），从图像上我们可以看出，要使抛物线与　 　　　轴的两个　　

交点在　 　　　之间,必须满足条件:　 　　　即　 　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

0

　　　　 　　　　

X

　　　　

Y

　　　　

1

　　　　

－1

　　　　 　　　　　　　　 　　　从而可解得　 　　　的取值范围为　 　　　且　 　　　　　

图3　　

例4、如果方程　 　　　的两个实根在方程　 　　　的两实根之间，试求　 　　　与　 　　　应满足的关系式．　　

　　　　　　　　　　　　　　　

0

　　　　

X

　　　　

Y

　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　分析：我们可联想对应的二次函数　 　　　, 　　　　的草图（图4）． 这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程　 　　　的两实根在方程　 　　　的两实根之间，则对应的函数图像　 　　　与　 　　　轴的交点应在函数图像　 　　　与　 　　　轴的交点之内，它等价于抛物线　 　　　的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线　 　　　的顶点纵坐标．由配方方法可知　 　　　与　 　　　的顶点分别为：　 　　　．故可求出　 　　　与　 　　　应满足的关系式为:　 　　　．　　

图4　　

2、利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题．　　

对于一些不规则的方程，通过构造两个函数，然后，把方程的根转化为两个函数的交点问题。例如：　　

例5、解方程　 　　　　　

分析:由方程两边的表达式我们可以联想起函数　 　　　,做出这两个函数的　　

图像（图5）,这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2

　　　　

0

　　　　

0.4

　　　　

X

　　　　

Y

　　　　

y=3x

　　　　

2

　　　　

1

　　　　

y=2-x

　　　　　　　　　看出方程的近似解为　 　　　．　　

图5　　

例6、设方程　 　　　，试讨论　 　　　取不同范围的值时其不同解的个数的情况．　　

分析：我们可把这个问题转化为确定函数　 　　　与　 　　　图像（图6）交点个数的情况，因函数　 　　　表示平行于　 　　　轴的所有直线，从图像可以直观看出 ：　　

①当　 　　　时， 　　　　与　 　　　没有交点，这时原方程无解;　　

②当　 　　　时， 　　　　与　 　　　有两个交点,原方程有两个不同的解;　　

③当　 　　　时， 　　　　与　 　　　有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；　　

　　　

­­－1

　　　　　

－1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

0

　　　　

X

　　　　

1

　　　　　　

1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　④当　 　　　时， 　　　　与　 　　　有三个交点，原方程不同解的个数有三个；　　

⑤当　 　　　时　 　　　与　 　　　有两个交点，原方程不同解的个数有三个．　　

图6　　

3、利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集．　　

求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与　 　　　轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集．例如：　　

 例7、　 　　　　　

     分析：本题若用常规解法，要分两种情形：　 　　　　　

 比较麻烦，若能用数形结合解法，则比较有新意，具体解题如下：　　

　　　　　　　　，　 　　　 　 　　　　　

图7　　

4、利用三角函数的图像解不等式．　　

对于一些三角不等式，可灵活利用三角函数的图像，转化为两个三角函数的图像的关　　

系问题。例如：　　

例8、解不等式　 　　　　　

分析:从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数　 　　　在　 　　　上做出它们的图像（图8）,得到四个不同的交点,横坐标分别为:　 　　　,而当　 　　　在区间　 　　　内时,　 　　　的图像都在　 　　　的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：　 　　　．　　

　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

0

　　　　

x

　　　　

Y

　　　　

1

　　　　 　　　　 　　　　

X

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　

图8　　

三、利用数形结合思想比较函数值的大小．　　

    一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．例如：　　

 例9、试判断　 　　　三个数间的大小顺序．　　

分析：这三个数我们可以看成三个函数: 　　　　在　 　　　时，　　

所对应的函数值．在同一坐标系内做出这三个函数的图像(图9)，从图像可以直观地看出当　 　　　时，所对应的三个点　 　　　的位置， 从而可得出结论：　 　　　．　　

　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

0

　　　　

Y

　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　

1

　　　　

1

　　　　 　　　　　　　　

－1

　　　　

0.3

　　　　

•

　　　　

•

　　　　

•

　　　　 　　　　 　　　　

X